7 класс, Алгебра

Конспект урока по теме "Степень с натуральным показателем" и "Умножение и деление степеней"

Презентация к этим урокам - ссылка

Урок 1

Объясните ученикам приведённый материал и примените его к задачам.

Для краткого и удобного обозначения произведения одинаковых сомножителей используют запись такого вида:

3⋅3⋅3⋅...⋅3=38

    8 раз.

Количество сомножителей записывается сверху справа от повторяющегося сомножителя. Воспользовавшись этим обозначением, запишем:

3⋅3⋅3⋅...⋅3 =6561;

      8 раз

6⁵ = 6 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ 6 = 7776;

(-57)3=(-57)⋅(-57)⋅(-57)=-125343.

Обратите внимание, что дробный сомножитель записывается в скобках. Дадим теперь формальное определение.

Определение. Степенью числа a с натуральным показателем n, большим 1, называется произведение n сомножителей, каждый из которых равен a.

При этом число a, которое перемножали, называется основанием степени, число n, которое показывает, сколько сомножителей было в произведении, называется показателем степени.

Степенью числа a с показателем 1 называется само число a.

a¹ = a.

Случай показателя, равного единице, мы вынуждены рассматривать отдельно, потому что с формальной точки зрения, когда сомножитель один, мы не можем говорить о произведении.

Заметим, что степенью часто называется не только само выражение aⁿ, но и его числовое значение, когда a и n являются конкретными числами. Например, говорят, что 16 — это четвёртая степень числа 2, потому что 2⁴ = 16.

Нахождение n-ой степени числа a также часто называется возведением числа a в n-ую степень.

Степени с показателями 2 и 3 имеют свои особые названия: вторая степень числа называется квадратом этого числа, а третья степень — кубом этого числа.

Для решения различных задач полезно помнить квадраты натуральных чисел от 1 до 20, кубы натуральных числе от 1 до 10, а также первые натуральные степени чисел 2; 3; 5.

Рассмотрим несколько свойств операции возведения в степень:

• При возведении положительного числа в любую натуральную степень получится положительное число.
• При возведении нуля в любую натуральную степень получится ноль.
• При возведении отрицательного числа в чётную степень получится положительное число, а при возведении отрицательного числа в нечётную степень получится отрицательное число.
• Чётная степень ненулевого числа положительна.
• Нечётная степень ненулевого числа имеет такой же знак, как и это число.
• Чётные степени противоположных чисел равны, то есть (— a)ⁿ = aⁿ при чётном n.
• Нечётные степени противоположных чисел являются противоположными числами, то есть (— a)ⁿ = — aⁿ при нечётном n, или, по-другому: aⁿ = — (— a)ⁿ при нечётном n.

При вычислении значения выражения, содержащего возведение в степень и стандартные арифметические операции (сложение, вычитание, умножение и деление), в первую очередь выполняются операции возведения в степень, затем операции умножения и деления, а затем операции сложения и вычитания.

Например, при нахождении значения выражения 7 ⋅ 5³ + 972 : 3⁵ порядок действий будет следующим:

 1) 5³ = 125;     2) 3⁵ = 243;       3) 7 ⋅ 125 = 875;

 4) 972 : 243 = 4;       5) 875 +4 = 879.

Урок 2

Объясните ученикам приведённый материал и примените его к задачам.

Мы изучим пять основных свойств операции возведения в степень (два в этом уроке и три в следующем).

Умножение степеней с одинаковыми основаниями.

Для любого числа a и любых натуральных чисел m и n

a^m ⋅ aⁿ = a^m + n.

При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся прежним, а показатели степеней складываются.

Иногда это свойство формулируют ещё короче: при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются. При такой краткой формулировке, естественно, подразумевается, что основание остаётся прежним.

Приведём доказательство:

Например, зная, что 2⁷ = 128, а 2⁴ = 16, при нахождении 2¹¹ можно записать: 2¹¹ = 2^{7 + 4} = 2⁷ ⋅ 2⁴ = 128 ⋅ 16 = 2048.

Рассматриваемое свойство справедливо при любом количестве перемножаемых степеней. Например, при перемножении трёх степеней будем иметь:

a^m ⋅ aⁿ ⋅ a^k = a^{m + n + k}.

При перемножении четырёх:

a^m ⋅ aⁿ ⋅ a^k ⋅ aⁱ = a^{m + n + k + i},

и так далее.

Деление степеней с одинаковыми основаниями.

Для любого числа и любых натуральных чисел m и n таких, что m > n,

a^m : aⁿ = a^m - n.

При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся прежним, а показатель становится равен разности показателей делимого и делителя.

Иногда это свойство формулируют ещё короче: при делении степеней с одинаковыми основаниями показатели вычитаются. При такой краткой формулировке подразумевается, что основание остаётся прежним и что показатель степени делителя вычитается из показателя степени делимого.

Для доказательства рассматриваемого свойства достаточно заметить, что произведение множителей a^m - n и aⁿ равно a^m. И действительно, по доказанному выше правилу перемножения степеней с одинаковым основанием будем иметь:

a^m - n ⋅ aⁿ = a^{(m - n) + n} = a^m.

Доказательство закончено.